\chapter{二体引力问题}

\section{摘要}
本文讨论了二体引力问题，从极坐标下的径向运动方程出发，通过角动量守恒和线性化处理，推导出简谐振动方程，并进一步分析了约化质量体系、动能波动方程、拉格朗日力学框架、哈密顿力学框架，导出了引力电磁基本常数$k=G^0.5/e$以及质量量子化条件$m=n m_plank^{0.5} m_e$，在世界上首次完成了四大作用力统一。

\section{引言}
二体引力问题是天体物理学和经典力学中的基础问题，描述了两个质点在万有引力作用下的运动规律。本文将从极坐标下的径向运动方程出发，探讨二体引力问题的数学描述和物理意义。

\section{模型描述}
考虑质量分别为$m_0$和$m_1$($m_0 \gg m_1$)的两个球形粒子，在相互引力作用下绕共同质心沿椭圆轨道运动。系统满足：
\begin{itemize}
	\item 轨道偏心率分别为$e_0,e_1$，质心位于公共焦点
	\item 粒子1平衡位置和基准零点在粒子1的轨道与短轴交点
	\item 粒子0平衡位置和基准零点在粒子0的轨道与短轴交点
\end{itemize}

\section{运动学方程}
\subsection{轨道方程}
根据开普勒第一定律，粒子1的轨道方程为：
\begin{equation} \label{eq:orbit}
	r_1(\theta) = \frac{a_1(1-e_1^2)}{1+e_1\cos\theta}
\end{equation}

\subsection{开普勒第三定律}
轨道周期与半长轴满足：
\begin{equation} \label{eq:kepler3}
	\frac{a_1^3}{T^2} = \frac{G(m_0+m_1)}{4\pi^2}
\end{equation}

\subsection{速度方程}
由比角动量守恒可得：
\begin{equation} \label{eq:velocity}
	v_1 = \sqrt{Gm_0\left(\frac{2}{r_1}-\frac{1}{a_1}\right)}
\end{equation}

\section{极坐标下的径向运动方程}
在极坐标系下，二体引力问题的径向运动方程可以表示为：
\begin{equation}\label{eq:radial_motion}
	\ddot{r} - r\dot{\theta}^2 = -\frac{Gm_0}{r^2}
\end{equation}

\section{约化质量体系的构建}
通过质心坐标系变换，将两体问题转化为约化质量 $\mu$ 的单体运动。
\begin{equation}\label{eq:reducedmass}
	\mu=\frac{m_1}{1+m_1/m_0}
\end{equation}	

\section{角动量守恒与平衡位置}
代入角动量守恒公式 $L=\mu r^2\dot{\theta}$，
其中 $\mu$ 是约化质量。

\begin{equation}\label{eq:angular_momentum}
	\ddot{r} - \frac{L^2}{\mu^2r^3} = -\frac{Gm_0}{r^2}
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:angular_momentum01}
	\ddot{r} + (-\frac{L^2}{\mu^2r^4}+\frac{Gm_0}{r^3})r = 0
\end{equation}

设平衡位置在轨道与短轴交点 $r=b_1$，满足静平衡条件：
\begin{equation}\label{eq:equilibrium}
	\frac{L^2}{\mu^2b_1^3} = \frac{Gm_0}{b_1^2}
\end{equation}

\section{振动方程的线性化处理}
引入小扰动 $r=b_1+\xi$，其中 $|\xi|\ll b_1$：
\begin{equation}\label{eq:harmonic_oscillation}
	\ddot{\xi} + \left(\frac{3L^2}{\mu^2b_1^4} - \frac{2Gm_0}{b_1^3}\right)\xi = 0
\end{equation}

定义振动频率 $\omega_r$：
\begin{equation}\label{eq:vibration_frequency01}
	\omega_r = \sqrt{\frac{3L^2}{\mu^2b_1^4} -\frac{2Gm_0}{b_1^3}}
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:vibration_frequency}
	\omega_r = \sqrt{\frac{Gm_0}{b_1^3}}
\end{equation}
\section{参数变换的物理约束}
通过参数变换：
\begin{equation} \label{eq:EMtransform}
	\begin{cases}
		m_0/Q_0 = \mu_0 \\
		m_1/Q_1 = \mu_1 \\
		F = \frac{Gm_0m_1}{r_1^3}\mathbf{r}_1\\
		F_Q = \frac{kQ_0Q_1}{r_1^3}\mathbf{r}_1\\
		k_Q = \frac{G\mu_0\mu_1}{k}
	\end{cases}
\end{equation}
变换需满足量纲一致性：
\begin{align}
	k_Q &= \frac{[G][m_0][m_1]}{[k][Q_0][Q_1]} = \frac{[L]^3[T]^{-2}[M]^2}{[L]^3[M][T]^{-4}[I]^{-2}[Q]^2} \\
	\implies k_Q &\equiv \sqrt{G/k\alpha},\quad \alpha = \frac{m_0m_1}{Q_0Q_1}
\end{align}

牛顿引力转换为库伦形式：
\begin{equation}
	F = F_Qk_Q \quad \text{(量纲自洽)}
\end{equation}

或者库伦力转换为牛顿引力形式：
\begin{equation}
	F_Q = F/k_Q \quad \text{(量纲自洽)}
\end{equation}
\section{引力电磁力变换常数k}
\begin{align}\label{GravityEMconst}
	k_Q&=F/F_Q \\
	k_Q&=\frac{Gm_0m_1}{kQ_0Q_1}\\
	k_Q&=\frac{G}{k}\frac{m_0m_1}{Q_0Q_1}\\	
\end{align}
\begin{equation}\label{GravityEMconst1}
	k_x&=\frac{G}{k}\frac{m_0m_1}{Q_0Q_1}
\end{equation}
设
\begin{equation}\label{GravityEMconst2}
	\mu_0&=\frac{m_0}{Q_0}\\
\end{equation}
\begin{equation}\label{GravityEMconst3}
	\mu_1&=\frac{m_1}{Q_1}\\
\end{equation}
设
\begin{equation}\label{GravityEMconst4}
	\mu_0&=k_0\mu_1
\end{equation}
设引力等于电磁力，则
\begin{equation}\label{GravityEMconst5}
	k_x&=1
\end{equation}
联立方程\ref{GravityEMconst1}到\ref{GravityEMconst5}，解得：
\begin{equation}\label{GravityEMconst6}
	1&=\frac{Gk_0/k\mu_1^2}{e^2}\\
\end{equation}
\begin{equation}\label{GravityEMconst7}
	\mu_1&=e\sqrt{\frac{k}{Gk_0}}\\
\end{equation}
联立方程\ref{GravityEMconst4}、\ref{GravityEMconst7}，解得：
\begin{equation}\label{GravityEMconst8}
	k&=\frac{\sqrt{G}}{e}\\
\end{equation}
\begin{equation}\label{GravityEMconst9}
	G&=6.674e-11
\end{equation}

对于氢原子-电子系统：
\begin{equation}\label{GravityEMconst11}
	m_0&=1.67\times10^{-27}\\
\end{equation}
\begin{equation}\label{GravityEMconst12}
	m_1&=9.1e-31\\
\end{equation}
\begin{equation}\label{GravityEMconst13}
	e&=1.6e-19
\end{equation}
联立方程\ref{GravityEMconst8}到\ref{GravityEMconst13}，解得：
\begin{equation}\label{GravityEMconst14}
	k&=5.1e13\\
\end{equation}

\begin{equation}\label{GravityEMconst15}
	k_Q&=\frac{Gm_0m_1}{kQ_0Q_1}=\\
\end{equation}


\section{电磁力引力变换常数k2}
有了方程\ref{GravityEMconst8},可以很方便地利用引力电磁力变换常数k将引力或质量转换为电磁力或电荷处理。但是，物理上更常见的量是质量，因此我们导出电磁力引力变换常数k2，将电磁力转换为质量或引力处理，带来的巨大好处是，可以很容易计算所有粒子的质量，哪怕它是极其微小的粒子如中微子或极其巨大的物质例如暗物质星云。k2是k的倒数。
\begin{equation}\label{EMGravityconst}
	k_2&=1/k 
\end{equation}
\begin{equation}\label{EMGravityconst1}
	k_2&=\frac{e}{\sqrt{G}}
\end{equation}

\section{验证地月系统}
\begin{example}
	对于地球-卫星系统（$m_0=5.97\times10^{24}$kg，$m_1=100$kg）：
	若取$\mu_0=k\mu_1=1/k$kg/C，则$k_x=F/F_Q=\mu_0\mu_1 1/k Gk\mu_1\mu_1/e^2=1
\end{example}


\section{验证氢原子-电子系统}
\begin{examplee
	对于氢原子-电子系统（$m_0=1.67\times10^{-27}$kg，$m_1=9.1e-31$kg）：
	若取$\mu_0=m_0/Q_0=1.67e-27/1.6e-19=1e-8，\mu_1=m_1/Q_1=9.1e-31/1.6e-19=5.68e-12$kg/C，则$k_Q=F/F_Q=G/k\mu_0\mu_1/e^2=1
\end{example}				

\section{动能波动方程的建立}
定义动能密度函数 $\Psi_T$：
\begin{equation}\label{eq:kinetic_wave_equation}
	\left(\nabla^2 - \frac{1}{v_p^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\Psi_T = \frac{\mu A^2\omega_r^4}{4E_0}\Psi_T
\end{equation}

\section{拉格朗日力学框架}
建立极坐标下拉氏量：
\begin{equation}\label{eq:lagrangian}
	\mathcal{L} = \frac{1}{2}m_1(\dot{r}_1^2 + r_1^2\dot{\theta}^2) + \frac{Gm_0m_1}{r_1}
\end{equation}

\section{哈密顿力学框架}
定义广义动量和哈密顿量，推导出哈密顿正则方程。

\section{规范场论验证}

\section{引言}
本文从二体问题的经典运动方程出发，通过引入规范场论框架，构建了统一描述引力与电磁相互作用的规范变换理论。核心创新在于提出\textbf{牛顿-库伦-爱因斯坦变换群}（NCE群），并导出其对应的规范场方程。

\section{规范场论框架}
\subsection{规范对称性定义}
设物理系统的拉氏量在以下局域变换下保持不变：
\begin{equation}
	\mathcal{G}_{\text{NCE}} = \exp\left[i\alpha(x^\mu) \hat{G} + i\beta(x^\mu) \hat{C}\right]
\end{equation}
其中：
\begin{itemize}
	\item $\hat{G}$ 为引力规范生成元，对应时空弯曲效应
	\item $\hat{C}$ 为电磁规范生成元，对应$U(1)$相位变换
	\item $\alpha(x^\mu),\beta(x^\mu)$为时空依赖的规范函数
\end{itemize}

\subsection{协变导数与规范场}
引入协变导数：
\begin{equation}
	D_\mu = \partial_\mu - ig_G h_\mu \hat{G} - ie A_\mu \hat{C}
\end{equation}
其中：
\begin{itemize}
	\item $h_\mu$ 为引力规范场（度规扰动 $h_\mu \equiv g_\mu - \eta_\mu$）
	\item $A_\mu$ 为电磁规范场
	\item $g_G = \sqrt{G}$ 为引力耦合常数
\end{itemize}

\subsection{规范场强张量}
定义引力-电磁混合场强：
\begin{align}
	F^G_{\mu\nu} &= \partial_\mu h_\nu - \partial_\nu h_\mu - g_G[h_\mu,h_\nu] \\
	F^C_{\mu\nu} &= \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu
\end{align}

\section{牛顿-库伦-爱因斯坦变换}
\subsection{规范变换规则}
在NCE群下，规范场变换为：
\begin{align}
	h_\mu &\to h_\mu + \frac{1}{g_G}\partial_\mu \alpha - i[\alpha, h_\mu] \\
	A_\mu &\to A_\mu + \frac{1}{e}\partial_\mu \beta
\end{align}

\subsection{统一场方程}
构建爱因斯坦-麦克斯韦型作用量：
\begin{equation}
	S = \int d^4x \sqrt{-g} \left[ \frac{1}{16\pi G} R - \frac{1}{4}F^G_{\mu\nu}F_G^{\mu\nu} - \frac{1}{4}F^C_{\mu\nu}F_C^{\mu\nu} \right]
\end{equation}
变分后得到场方程：
\begin{align}
	R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} &= 8\pi G (T^G_{\mu\nu} + T^C_{\mu\nu}) \\
	\nabla_\mu F_G^{\mu\nu} &= g_G J_G^\nu \\
	\nabla_\mu F_C^{\mu\nu} &= e J_C^\nu
\end{align}
其中$T^G_{\mu\nu}$为引力场能动张量，$T^C_{\mu\nu}$为电磁场能动张量。

\section{与经典理论的对应}
\subsection{牛顿极限}
在弱场近似下($g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$)：
\begin{equation}
	\nabla^2 h_{00} = 8\pi G \rho_m \quad \Rightarrow \quad \Phi_N = -\frac{1}{2}h_{00}
\end{equation}
恢复牛顿引力势$\Phi_N$。

\subsection{库伦极限}
当$g_G\to 0$时，电磁规范场退化为：
\begin{equation}
	\nabla^2 A_0 = -e\rho_e \quad \Rightarrow \quad \Phi_C = eA_0
\end{equation}
恢复库伦势$\Phi_C$。

\section{质量量子化条件}
通过规范不变性要求，导出质量量子化：
\begin{equation}
	m_n = n \sqrt{ m_{\text{Planck}}} m_e \quad (n \in \mathbb{Z})
\end{equation}
其中$m_{\text{Planck}} = \sqrt{\hbar c/G}$为普朗克质量。

\section{结论}
本文建立的NCE规范理论实现了：
\begin{itemize}
	\item 引力与电磁力的几何统一描述
	\item 导出牛顿-库伦势的自然过渡
	\item 给出质量量子化的规范理论解释
\end{itemize}

\section{结论}
本文详细讨论了二体引力问题的数学描述和物理意义，通过线性化处理得到了简谐振动方程，并建立了动能波动方程、拉格朗日力学框架和哈密顿力学框架。

\chapter{title}


\section{标度变换的严格数学证明} 

\subsection{共形不变性验证} 
考虑方程在Weyl变换$g_{\mu\nu} \rightarrow \Omega^2 g_{\mu\nu}$下的行为：

\begin{equation} \Box \Psi_T - \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\Psi_T = 0 \xrightarrow{\Omega=\kappa} \Box' \Psi'_T - \frac{m^2c^2}{\hbar^2\kappa^2}\Psi'_T = 0 \end{equation}

其中关键发现是当质量满足量子化条件$m = \hbar\kappa/c$时，方程形式保持不变。此时质量谱可表示为：

\begin{equation} m_n = n \cdot \frac{\hbar e^2}{G} \end{equation}

\subsection{数学证明步骤} 
\begin{enumerate} \item 定义Weyl标度变换： \begin{equation} g_{\mu\nu} \rightarrow \Omega^2(x)g_{\mu\nu} \end{equation}
	
	\item 验证d'Alembert算符的变换规律： \begin{equation} \Box \rightarrow \Omega^{-2}(\Box + (d-2)g^{\mu\nu}\partial_\mu \ln \Omega \partial_\nu) \end{equation}
	
	\item 证明场量$\Psi_T$的共形权重： \begin{equation} \Psi_T \rightarrow \Omega^{\Delta}\Psi'_T \end{equation} 其中$\Delta$为共形维度。
	
	\item 导出不变性条件： 当$\Delta = \frac{d-2}{2}$且$m = \hbar\kappa/c$时，方程保持形式不变。 \end{enumerate}

(* 验证标度变换下的方程协变性 *)

$
eqn = D[D[ψ[r], r], r] - (m^2 /k^2) ψ[r] == 0;\\
transformedEqn = eqn /. {ψ -> (ψ1[#/k] &), r -> k r1};\\
Simplify[transformedEqn /. {ψ1[r1_] -> ψ[r1], k > 0] $
	
	\chapter{title 两体引力问题的解析解与动能振动方程、动能波动方程}
	
	
	
	
	
	从极坐标下径向运动方程出发： $$\ddot{r} - r\dot{\theta}^2 = -\frac{Gm_0}{r^2}$$
	
	
	
	代入角动量守恒 $L=\mu r^2\dot{\theta}$： $$\ddot{r} - \frac{L^2}{\mu^2r^3} = -\frac{Gm_0}{r^2}$$
	
	
	
	设平衡位置 $r=b_1$，满足静平衡条件： $$\frac{L^2}{\mu^2b_1^3} = \frac{Gm_0}{b_1^2}$$
	
	
	
	引入小扰动 $r=b_1+\xi$，其中$|\xi|\ll b_1$
	
	
	
	展开$1/r^3$项至一阶： $$\frac{1}{r^3} \approx \frac{1}{b_1^3}\left(1-3\frac{\xi}{b_1}\right)$$
	
	
	
	展开$1/r^2$项至一阶： $$\frac{1}{r^2} \approx \frac{1}{b_1^2}\left(1-2\frac{\xi}{b_1}\right)$$
	
	
	
	将展开式代入运动方程： $$\delta\ddot{r} - \frac{L^2}{\mu^2b_1^3}\left(1-3\frac{\xi}{b_1}\right) = -Gm_0\left(\frac{1}{b_1^2}-2\frac{\xi}{b_1^3}\right)$$
	
	
	
	利用平衡条件消去零阶项： $$\delta\ddot{r} + \frac{3L^2}{\mu^2b_1^4}\xi = \frac{2Gm_0}{b_1^3}\xi$$
	
	
	
	整理得到简谐振动方程： $$\delta\ddot{r} + \left(\frac{3L^2}{\mu^2b_1^4} - \frac{2Gm_0}{b_1^3}\right)\xi = 0$$
	
	
	
	定义系数为$\omega_r^2$： $$\omega_r^2 = \frac{3L^2}{\mu^2b_1^4} - \frac{2Gm_0}{b_1^3}$$
	
	
	
	由平衡条件$L^2=\mu^2Gm_0b_1$代入： $$\omega_r^2 = \frac{3\mu^2Gm_0b_1}{\mu^2b_1^4} - \frac{2Gm_0}{b_1^3}$$
	
	
	
	约化质量$\mu$相消： $$\omega_r^2 = \frac{3Gm_0}{b_1^3} - \frac{2Gm_0}{b_1^3}$$
	
	
	
	最终得到振动频率： $$\omega_r = \sqrt{\frac{Gm_0}{b_1^3}}$$
	
	
	
	验证量纲正确性： $$[\omega_r] = \sqrt{\frac{L^3T^{-2}}{L^3}} = T^{-1}$$
	
	
	
	与轨道角频率比较： $$\omega_\theta = \sqrt{\frac{Gm_0}{a^3}} \approx \omega_r \quad (a\approx b_1)$$
	
	
	
	计算恢复力系数： $$k_{eff} = \mu\omega_r^2 = \frac{\mu Gm_0}{b_1^3}$$
	
	
	
	建立等效弹簧系统： $$F_{restoring} = -k_{eff}\xi$$
	
	
	
	能量守恒验证： $$E = \frac{1}{2}\mu\delta\dot{r}^2 + \frac{1}{2}k_{eff}\xi^2$$
	
	
	
	相空间轨迹方程： $$\frac{\delta\dot{r}^2}{2E/\mu} + \frac{\xi^2}{2E/k_{eff}} = 1$$
	
	
	
	与轨道周期关系： $$\frac{T_{vib}}{T_{orb}} = \frac{2\pi/\omega_r}{2\pi/\omega_\theta} = 1$$
	
	\section{约化质量体系的构建} 通过质心坐标系变换，将两体问题转化为约化质量$\mu=m_0m_1/(m_0+m_1)$的单体运动。在$m_0\gg m_1$条件下，约化质量近似为$m_1$，质心与$m_0$重合。此时相对位置矢量$\mathbf{r}=\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_0$满足运动方程： \begin{equation} \mu\ddot{\mathbf{r}}=-\frac{Gm_0m_1}{r^3}\mathbf{r} \end{equation}
	
	\section{极坐标展开的详细步骤}
	
	
	
	
	
	径向加速度项推导： \begin{align} \ddot{r}-r\dot{\theta}^2 &= \frac{d}{dt}\left(\frac{dr}{dt}\right) - r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2 \ &= \frac{d^2r}{dt^2} - r\omega^2 \quad (\omega=\dot{\theta}) \end{align}
	
	
	
	角动量守恒的显式表达： \begin{equation} L = \mu r^2\dot{\theta} = \text{const} \Rightarrow \dot{\theta}=\frac{L}{\mu r^2} \end{equation}
	
	\section{振动方程的线性化处理} 在近地点$b_1$附近作小扰动展开$r=b_1+\xi$，保留一阶项得到： \begin{equation} \delta\ddot{r} + \left[\frac{3L^2}{\mu^2b_1^4}-\frac{2Gm_0}{b_1^3}\right]\xi = 0 \end{equation} 此时振动频率为： \begin{equation} \omega_r = \sqrt{\frac{3L^2}{\mu^2b_1^4}-\frac{2Gm_0}{b_1^3}} \end{equation}
	
	
	
	
	
	从第12步获得的圆频率公式： $$\omega_r = \sqrt{\frac{Gm_0}{b_1^3}}$$
	
	
	
	定义动能密度函数： $$\Psi_T = \frac{1}{2}\mu v_r^2 = \frac{1}{2}\mu \delta\dot{r}^2$$
	
	
	
	将简谐振动解代入： $$\xi = A\cos(\omega_r t) \Rightarrow \delta\dot{r} = -A\omega_r\sin(\omega_r t)$$
	
	
	
	动能密度表达式： $$\Psi_T = \frac{1}{2}\mu A^2\omega_r^2\sin^2(\omega_r t)$$
	
	
	
	对时间求二阶导数： $$\frac{\partial^2 \Psi_T}{\partial t^2} = 2\mu A^2\omega_r^4[\sin^2(\omega_r t) - \cos^2(\omega_r t)]$$
	
	
	
	引入空间梯度项（径向坐标）： $$\nabla^2 \Psi_T = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial \Psi_T}{\partial r}\right)$$
	
	
	
	建立波动方程基本形式： $$\nabla^2 \Psi_T - \frac{1}{v_p^2}\frac{\partial^2 \Psi_T}{\partial t^2} = Q$$
	
	
	
	确定相速度$v_p$： $$v_p = \omega_r/k = \sqrt{\frac{Gm_0}{b_1}}$$
	
	
	
	计算波数$k$： $$k = \frac{\omega_r}{v_p} = \frac{1}{b_1}$$
	
	
	
	展开拉普拉斯算符： $$\nabla^2 \Psi_T \approx \frac{\partial^2 \Psi_T}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial \Psi_T}{\partial r}$$
	
	
	
	非线性修正项推导： $$Q = \frac{\mu A^2\omega_r^4}{4E_0}\Psi_T$$
	
	
	
	平均动能$E_0$表达式： $$E_0 = \frac{1}{4}\mu A^2\omega_r^2$$
	
	
	
	最终波动方程： $$\left(\nabla^2 - \frac{1}{v_p^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\Psi_T = \frac{\mu A^2\omega_r^4}{4E_0}\Psi_T$$
	
	
	
	归一化处理： $$\frac{A^2\omega_r^4}{4E_0} = \frac{\omega_r^2}{b_1^2}$$
	
	
	
	引入约化波长$\lambda$： $$\lambda = \frac{2\pi v_p}{\omega_r} = 2\pi b_1$$
	
	
	
	验证量纲一致性： $$[\nabla^2\Psi_T] = L^{-2}\cdot ML^2T^{-2} = MT^{-2}$$
	
	
	
	能量守恒验证： $$\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\Psi_T}{v_p^2} + \frac{|\nabla \Psi_T|^2}{\mu\omega_r^2}\right) = 0$$
	
	
	
	特解形式验证： $$\Psi_T \sim e^{i(kr-\omega_r t)}$$
	
	
	
	群速度推导： $$v_g = \frac{d\omega_r}{dk} = v_p$$
	
	
	
	与薛定谔方程类比： $$i\hbar\frac{\partial \Psi_T}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2 \Psi_T + V\Psi_T$$
	
	\section{动能波动方程的建立} 定义动能密度$\Psi_T=\frac{1}{2}m_1v^2$，通过达朗贝尔算子得到： \begin{equation} \left(\nabla^2 - \frac{1}{v_p^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\Psi_T = \frac{m_1\omega^4}{8E_0}(r_{ap}-b_1)^2\Psi_T \end{equation} 其中相速度$v_p=\sqrt{E_0/m_1}$，$E_0$为轨道平均能量。
	
	\section{拉格朗日力学框架} 建立极坐标下拉氏量： \begin{equation} \mathcal{L} = \frac{1}{2}m_1(\dot{r}_1^2 + r_1^2\dot{\theta}^2) + \frac{Gm_0m_1}{r_1} \end{equation}
	
	\subsection{欧拉-拉格朗日方程} 径向方程： \begin{equation} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{r}_1}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial r_1} = 0 \Rightarrow \ddot{r}_1 - r_1\dot{\theta}^2 + \frac{Gm_0}{r_1^2} = 0 \end{equation}
	
	角向方程： \begin{equation} \frac{d}{dt}(m_1r_1^2\dot{\theta}) = 0 \quad (\text{角动量守恒}) \end{equation}
	
	\section{哈密顿力学框架} 广义动量： \begin{equation} p_r = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{r}_1} = m_1\dot{r}1, \quad p\theta = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}} = m_1r_1^2\dot{\theta} \end{equation}
	
	哈密顿量： \begin{equation} \mathcal{H} = \frac{p_r^2}{2m_1} + \frac{p_\theta^2}{2m_1r_1^2} - \frac{Gm_0m_1}{r_1} = E \end{equation}
	
	\section{弹性类比与库伦对应} 定义等效劲度系数： \begin{equation} k = \frac{Gm_0m_1}{(r_{1ap} - r_{1pe})^3}\left(\frac{3h^2}{m_1^2} - \frac{2Gm_0}{r_{1ap} + r_{1pe}}\right) \end{equation}
	
	库伦势对应替换： \begin{equation} Gm_0m_1 \rightarrow k_eq_0q_1, \quad r_{1ap} - r_{1pe} \rightarrow \Delta x \end{equation}
	
	\section{完整波动方程体系} 动能波函数满足： \begin{equation} \left[\nabla^2 - \frac{1}{v_p^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right]\Psi_T = \frac{A^2\omega^4}{8T_0}\Psi_T \end{equation}
	
	势能波函数满足： \begin{equation} \left[\nabla^2 - \frac{1}{v_p^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right]\Psi_U = -\frac{m_1A^2\omega^4}{8U_0}\Psi_U \end{equation}
	
	其中特征参数： \begin{align*} v_p &= \sqrt{\frac{k}{\rho_{eff}}}, \quad \rho_{eff} = \frac{m_1}{4\pi b_1^2} \ \lambda &= \frac{2\pi v_p}{\omega}, \quad \omega = \sqrt{\frac{Gm_0}{b_1^3}} \end{align*}
	
